Interesante artículo de nuestro compañero Antton del Campo:
CINEMATICA SENCILLA DE LA EXPANSIÓN.
Creo que se pueden deducir de forma sencilla, utilizando simplemente conceptos de cinemática elemental, las expresiones matemáticas que definen la expansión del universo.
Como todos los puntos del universo son equivalentes, (principio cosmológico) no hay ningún punto privilegiado, la expansión tiene lugar en todos los sitios en la misma proporción, es decir con la misma tasa.
En principio vamos a recordar qué es «a», el llamado factor de escala de la expansión, que solo depende del tiempo y tiene el mismo valor en todos los lugares en un instante dado.
Se define como la razón entre la distancia entre dos galaxias en un instante dado «t» de la historia del universo «Dt» y la distancia actual entre ambas galaxias Do.a=Dt/Do (1)
Como se puede ver, este factor es a=1 en la actualidad por definición, fue menor que 1 (a<1) en tiempos pasados y será mayor que 1 (a>1) si el universo sigue expandiéndose.
Derivando esta expresión (1) respecto del tiempo obtenemos: a´=D´t/Do.
Recordemos que «Do» es la distancia entre esas dos galaxias en el instante actual, es decir constante respecto del tiempo.
Pero la derivada de «Dt» es precisamente la velocidad de alejamiento entre estas dos galaxias, por lo tanto a´=V/Do es decir V=a´·Do y substituyendo el valor de «Do» obtenido en (1) Do=Dt/a obtenemos, V=(a´/a)·Dt, es decir que la velocidad de alejamiento entre las galaxias es proporcional a su distancia, siendo su factor de proporcionalidad «a´/a».
Esto es lo que se conoce como ley de proporcionalidad entre distancia y velocidad en la expansión, o también a veces como ley de Hubble. Al factor de proporcionalidad «a´/a» se le denomina parámetro de Hubble y se le representa con la letra H=a´/a.
Esta ley de proporcionalidad se escribe de la siguiente forma V=H·D (2)
Hemos visto como se puede deducir esta expresión, solamente aceptando la existencia del factor de escala en la expansión, dependiente del tiempo.
Vamos a obtener ahora la expresión de la aceleración de la expansión. Como sabemos la aceleración es la derivada de la velocidad.
Derivando (2) V´=H´·D+H·D´. (3)
El segundo término es la derivada del producto de dos funciones.
Pero V´=J es la aceleración y D´=V la velocidad.
Substituyendo en (3) J=H´·D+H·V, pero sabemos por (2) que V=H·D y substituyendo en (3) J=H´·D+H·H·D=(H´+H·H)·D.
La aceleración es proporcional a la distancia, siendo este factor de proporcionalidad la suma de la derivada de H + H·H.
Este factor de proporcionalidad puede expresarse de otra forma equivalente.
H=a´/a, H´=(a´´·a-a´·a´)/a·a, derivada de un cociente.
Sustituyendo H´+H·H=(a´´·a-a´·a)/a·a+a´·a´/a·a=a´´·a/a·a=a´´/a
Si designamos a este factor de proporcionalidad con la letra «P», podemos poner J=P·D.
Los factores de proporcionalidad de velocidades y aceleraciones son H=a´/a y P=a´´/a.
Son funciones solamente del factor de escala y de sus derivadas.
Vemos que también como en el caso de la velocidad de expansión, la aceleración es proporcional a la distancia. Este factor de proporcionalidad que podemos denominar como parámetro de aceleraciones, tiene el mismo significado en el caso de la aceleración que el que tiene el parámetro de Hubble en el caso de la velocidad.
En el año 2011 se concedió el premio Nobel compartido a tres físicos por el descubrimiento de la aceleración de la expansión, mediante medidas realizadas sobre galaxias del tipo Ia a una distancia de unos siete mil millones de años luz.
Según lo demostrado anteriormente, cuando vayan midiéndose aceleraciones a diferentes distancias, se obtendrán forzosamente resultados proporcionales a estas distancias.
Antton del Campo.
Ingeniero Industrial.
